常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图，它们可以从“逻辑结构”和“物理结构”两个维度进行分类。

逻辑结构：线性与非线性

逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系。在数组和链表中，数据按照一定顺序排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出“祖先”与“后代”之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。

如图所示，逻辑结构可分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。

• 线性数据结构：数组、链表、栈、队列、哈希表，元素之间是一对一的顺序关系。
• 非线性数据结构：树、堆、图、哈希表。

非线性数据结构可以进一步划分为树形结构和网状结构。

• 树形结构：树、堆、哈希表，元素之间是一对多的关系。
• 网状结构：图，元素之间是多对多的关系。

物理结构：连续与分散

当算法程序运行时，正在处理的数据主要存储在内存中。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储一定大小的数据。

系统通过内存地址来访问目标位置的数据。如图所示，计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。

值得说明的是，将内存比作 Excel 表格是一个简化的类比，实际内存的工作机制比较复杂，涉及地址空间、内存管理、缓存机制、虚拟内存和物理内存等概念。

内存是所有程序的共享资源，当某块内存被某个程序占用时，则通常无法被其他程序同时使用了。因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素。比如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果缺少连续大块的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在分散的内存空间内。

如图所示，物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，两种物理结构在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。

值得说明的是，所有数据结构都是基于数组、链表或二者的组合实现的。例如，栈和队列既可以使用数组实现，也可以使用链表实现；而哈希表的实现可能同时包含数组和链表。

• 基于数组可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图、矩阵、张量（维度$>=$的数组）等。
• 基于链表可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图等。

链表在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整，因此也称“动态数据结构”。数组在初始化后长度不可变，因此也称“静态数据结构”。值得注意的是，数组可通过重新分配内存实现长度变化，从而具备一定的“动态性”。

基本数据类型

当谈及计算机中的数据时，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。

基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用，主要包括以下几种。

• 整数类型 byte、short、int、long 。
• 浮点数类型 float、double ，用于表示小数。
• 字符类型 char ，用于表示各种语言的字母、标点符号甚至表情符号等。
• 布尔类型 bool ，用于表示“是”与“否”判断。

基本数据类型以二进制的形式存储在计算机中。一个二进制位即为$1$比特。在绝大多数现代操作系统中，$1$字节（byte）由$8$比特（bit）组成。

基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。

整数类型 byte 占用$1$字节 = $8$比特 ，可以表示$2^8$个数字。 整数类型 int 占用$1$字节 = $32$比特 ，可以表示$2^32$个数字。

下表列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。

请注意，表中针对的是 Java 的基本数据类型的情况。每种编程语言都有各自的数据类型定义，它们的占用空间、取值范围和默认值可能会有所不同。

那么，基本数据类型与数据结构之间有什么联系呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。这句话的主语是“结构”而非“数据”。

如果想表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 int、小数 float 还是字符 char ，则与“数据结构”无关。

换句话说，基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”。例如以下代码，我们用相同的数据结构（数组）来存储与表示不同的基本数据类型，包括 int、float、char、bool 等。

// 使用多种基本数据类型来初始化数组
var numbers = [5]int{}
var decimals = [5]float64{}
var chars = [5]byte{}
var bools = [5]bool{}

数字编码

原码|反码|补码

在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 byte 的取值范围是$[-128, 127]$。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及原码、反码、补码的相关知识。

首先需要指出，数字是以“补码”的形式存储在计算机中的。在分析这样做的原因之前，首先给出三者的定义。

• 原码：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中$0$表示正数，$1$表示负数，其余位表示数字的值。
• 反码：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
• 补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加$1$。

下图展示了原码、反码和补码之间的转换方法。

原码（sign-magnitude）虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，负数的原码不能直接用于运算。例如在原码下计算 $1+(-2)$，得到的结果是$-3$ ，这显然是不对的。

为了解决此问题，计算机引入了反码（1's complement）。如果我们先将原码转换为反码并在反码下计算 $1+(-2)$，最后将结果从反码转换回原码，则可得到正确结果$-1$。

另一方面，数字零的原码有$+0$和$-0$两种表示方式。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，这可能会降低计算机的运算效率。

与原码一样，反码也存在正负零歧义问题，因此计算机进一步引入了补码（2's complement）。我们先来观察一下负零的原码、反码、补码的转换过程：

在负零的反码基础上加$1$会产生进位，但 byte 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的$1$会被舍弃。也就是说，负零的补码为$0000\;0000$，与正零的补码相同。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。

还剩最后一个疑惑：byte 类型的取值范围是 $[-128, 127]$，多出来的一个负数 $-128$是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, 127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间可以互相转换。

然而，补码 $1000\;0000$ 是一个例外，它并没有对应的原码。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $0000\;0000$。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 $0$ ，它的补码应该是自身。计算机规定这个殊的补码 $1000\;0000$ 代表 $-128$ 。实际上，$(-1)+(-127)$ 在补码下的计算结果就是 $-128$。

你可能已经发现了，上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。

请注意，这并不意味着计算机只能做加法。通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算。例如，计算减法 $a-b$ 可以转换为计算加法 $a+(-b)$ ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。

现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。

浮点数编码

细心的你可能会发现：int 和 float 长度相同，都是 4 字节 ，但为什么 float 的取值范围远大于 int ？这非常反直觉，因为按理说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。

实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。记一个 32 比特长度的二进制数为：

根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

• 符号位 $S$：占 1 位 ，对应 $b_{31}$。
• 指数位 $E$：占 8 位 ，对应 $b_{30}b_{29}...b_{23}$。
• 分数位 $N$：占 23 位 ，对应 $b_{22}b_{21}...b_0$。

二进制数 float 对应值的计算方法为：

转化到十进制下的计算公式为：

其中各项的取值范围为：

现在我们可以回答最初的问题：float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int 。根据以上计算，float 可表示的最大正数为 $2^{254-127} * (2-2^{-23}) = 3.4 * 10^{28}$ ，切换符号位便可得到最小负数。

双精度 double 也采用类似于 float 的表示方法，在此不做赘述。

字符编码

在计算机中，所有数据都是以二进制数的形式存储的，字符 char 也不例外。为了表示字符，我们需要建立一套“字符集”，规定每个字符和二进制数之间的一一对应关系。有了字符集之后，计算机就可以通过查表完成二进制数到字符的转换。

ASCII字符集

ASCII 码是最早出现的字符集，其全称为 American Standard Code for Information Interchange（美国标准信息交换代码）。它使用 7 位二进制数（一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如图 3-6 所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0 ~ 9、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。

然而，ASCII 码仅能够表示英文。随着计算机的全球化，诞生了一种能够表示更多语言的 EASCII 字符集。它在 ASCII 的 7 位基础上扩展到 8 位，能够表示 256 个不同的字符。

在世界范围内，陆续出现了一批适用于不同地区的 EASCII 字符集。这些字符集的前 128 个字符统一为 ASCII 码，后 128 个字符定义不同，以适应不同语言的需求。

GBK字符集

后来人们发现，EASCII 码仍然无法满足许多语言的字符数量要求。比如汉字有近十万个，光日常使用的就有几千个。中国国家标准总局于 1980 年发布了 GB2312 字符集，其收录了 6763 个汉字，基本满足了汉字的计算机处理需要。

然而，GB2312 无法处理部分罕见字和繁体字。GBK 字符集是在 GB2312 的基础上扩展得到的，它共收录了 21886 个汉字。在 GBK 的编码方案中，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。

Unicode字符集

随着计算机技术的蓬勃发展，字符集与编码标准百花齐放，而这带来了许多问题。一方面，这些字符集一般只定义了特定语言的字符，无法在多语言环境下正常工作。另一方面，同一种语言存在多种字符集标准，如果两台计算机使用的是不同的编码标准，则在信息传递时就会出现乱码。

那个时代的研究人员就在想：如果推出一个足够完整的字符集，将世界范围内的所有语言和符号都收录其中，不就可以解决跨语言环境和乱码问题了吗？在这种想法的驱动下，一个大而全的字符集 Unicode 应运而生。

Unicode 的中文名称为“统一码”，理论上能容纳 100 多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。

Unicode 是一种通用字符集，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点。 我们不禁会问：当多种长度的 Unicode 码点同时出现在一个文本中时，系统如何解析字符？例如给定一个长度为 2 字节的编码，系统如何确认它是一个 2 字节的字符还是两个 1 字节的字符？

对于以上问题，一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码。如图 3-7 所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复这个短语的内容了。

然而 ASCII 码已经向我们证明，编码英文只需 1 字节。若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下的两倍，非常浪费内存空间。因此，我们需要一种更加高效的 Unicode 编码方法。

UTF-8编码

目前，UTF-8 已成为国际上使用最广泛的 Unicode 编码方法。它是一种可变长度的编码，使用 1 到 4 字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。ASCII 字符只需 1 字节，拉丁字母和希腊字母需要 2 字节，常用的中文字符需要 3 字节，其他的一些生僻字符需要 4 字节。

另外还诞生了UTF-16和UTF-32编码。

• UTF-16 编码：使用 2 或 4 字节来表示一个字符。所有的 ASCII 字符和常用的非英文字符，都用 2 字节表示；少数字符需要用到 4 字节表示。对于 2 字节的字符，UTF-16 编码与 Unicode 码点相等。
• UTF-32 编码：每个字符都使用 4 字节。这意味着 UTF-32 比 UTF-8 和 UTF-16 更占用空间，特别是对于 ASCII 字符占比较高的文本。

从兼容性的角度看，UTF-8 的通用性最佳，许多工具和库优先支持 UTF-8 。

编程语言的字符编码

对于以往的大多数编程语言，程序运行中的字符串都采用 UTF-16 或 UTF-32 这类等长编码。在等长编码下，我们可以将字符串看作数组来处理，这种做法具有以下优点。

Go 语言的 string 类型在内部使用 UTF-8 编码。Go 语言还提供了 rune 类型，它用于表示单个 Unicode 码点。

需要注意的是，以上讨论的都是字符串在编程语言中的存储方式，这和字符串如何在文件中存储或在网络中传输是不同的问题。在文件存储或网络传输中，我们通常会将字符串编码为 UTF-8 格式，以达到最优的兼容性和空间效率。

版权所有

版权归属：Mars Chin

许可证：署名-非商业性 4.0 国际 (CC-BY-NC-4.0)