算法之旅2.0-堆
宛如一座座数据构筑的山峦，层叠起伏中蕴藏着独特的秩序。 总能轻易找到那最巍峨的峰顶或最深邃的谷底，它是高效管理极值的智慧之道。
堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树 ，主要可分为两种类型，如图所示。
- 小顶堆（min heap）：任意节点的值 其子节点的值。
- 大顶堆（max heap）：任意节点的值 其子节点的值。
堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。
- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
- 将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。
堆的常用操作
需要指出的是，许多编程语言提供的是 优先队列（priority queue） ，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列 。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。
堆的常用操作见表，方法名需要根据编程语言来确定。
在实际应用中，可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any
// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
*h = append(*h, x.(int))
}
// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
// 待出堆元素存放在最后
last := (*h)[len(*h)-1]
*h = (*h)[:len(*h)-1]
return last
}
// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
return len(*h)
}
// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
// 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}
// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}
// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
return (*h)[0]
}
/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
/* 初始化堆 */
// 初始化大顶堆
maxHeap := &intHeap{}
heap.Init(maxHeap)
/* 元素入堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
heap.Push(maxHeap, 1)
heap.Push(maxHeap, 3)
heap.Push(maxHeap, 2)
heap.Push(maxHeap, 4)
heap.Push(maxHeap, 5)
/* 获取堆顶元素 */
top := maxHeap.Top()
fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
/* 堆顶元素出堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
heap.Pop(maxHeap) // 5
heap.Pop(maxHeap) // 4
heap.Pop(maxHeap) // 3
heap.Pop(maxHeap) // 2
heap.Pop(maxHeap) // 1
/* 获取堆大小 */
size := len(*maxHeap)
fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
/* 判断堆是否为空 */
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转（例如，将 替换为 ）。可以自行实现。
堆的存储与表示
“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此将采用数组来存储堆。
当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
如图所示，给定索引 ，其左子节点的索引为 ，右子节点的索引为 ，父节点的索引为 （向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：
/* 获取左子节点的索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
return 2*i + 1
}
/* 获取右子节点的索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
return 2*i + 2
}
/* 获取父节点的索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
// 向下整除
return (i - 1) / 2
}访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：
/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
return h.data[0]
}元素入堆
给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为 堆化（heapify） 。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化 。如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
节点7入堆
添加至堆底
比较，5<=7
交换
比较，6<=7
交换
比较，9>=7
不执行交换
堆化完成
结束
设节点总数为 ，则树的高度为 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 ，元素入堆操作的时间复杂度为 。代码如下所示：
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
// 添加节点
h.data = append(h.data, val)
// 从底至顶堆化
h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
for true {
// 获取节点 i 的父节点
p := h.parent(i)
// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
break
}
// 交换两节点
h.swap(i, p)
// 循环向上堆化
i = p
}
}堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
- 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
- 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
- 从根节点开始，从顶至底执行堆化。
如图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反 ，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
堆顶元素出堆
将堆顶元素与堆底元素交换
弹出当前堆底元素
从堆顶至底部进行堆化
确定新的堆顶
在节点5，6,7中，节点7最大
交换节点5 与节点7
在节点5,3,6中，节点6最大
交换节点5 与节点6
堆化完成
结束
与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 。代码如下所示：
/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) pop() any {
// 判空处理
if h.isEmpty() {
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 删除节点
val := h.data[len(h.data)-1]
h.data = h.data[:len(h.data)-1]
// 从顶至底堆化
h.siftDown(0)
// 返回堆顶元素
return val
}
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
for true {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
max = l
}
if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
max = r
}
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
if max == i {
break
}
// 交换两节点
h.swap(i, max)
// 循环向下堆化
i = max
}
}堆的常见应用
- 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 ，而建堆操作为 ，这些操作都非常高效。
- 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
- 获取最大的 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。