如同交织万物的宏大网络，节点间由错综复杂的边线相连，描绘着无尽的关联与路径。它以这般灵活而强大的结构，揭示着信息间的复杂互动，是探索关系世界的导航图。

图（graph） 是一种非线性数据结构，由 顶点（vertex） 和 边（edge） 组成。我们可以将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如图所示， 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高 ，因而更为复杂。

图的常见类型与术语

根据边是否具有方向，可分为 无向图（undirected graph） 和 有向图（directed graph） ，如图所示。

• 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
• 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。

根据所有顶点是否连通，可分为 连通图（connected graph） 和 非连通图（disconnected graph） ，如图所示。

• 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
• 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。

还可以为边添加“权重”变量，从而得到如图所示的 有权图（weighted graph） 。例如在《王者荣耀》等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

图数据结构包含以下常用术语。

• 邻接（adjacency） ：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
• 路径（path） ：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
• 度（degree） ：一个顶点拥有的边数。对于有向图，入度（in-degree）表示有多少条边指向该顶点，出度（out-degree）表示有多少条边从该顶点指出。

图的表示

图的常用表示方式包括 “邻接矩阵” 和 “邻接表” 。以下使用无向图进行举例。

邻接矩阵

设图的顶点数量为 $n$ ，邻接矩阵（adjacency matrix）使用一个 $n*n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间是否存在边。

如图所示，设邻接矩阵为 $M$、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i,j]=1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i,j]=0$ 表示两顶点之间无边。

邻接矩阵具有以下特性。

• 在简单图中，顶点不能与自身相连，此时邻接矩阵主对角线元素没有意义。
• 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
• 将邻接矩阵的元素从 $1$ 和 $0$ 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。

邻接表

邻接表（adjacency list） 使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$ ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察上图，邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。 比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(log_n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 $O(1)$ 。

图的常见应用

如表所示，许多现实系统可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。

图的基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则各种操作的实现方式如图所示。

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
• 初始化：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 vertices ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n*n$ 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 $O(n^2)$ 时间。

1. 初始化邻接矩阵

   

2. 添加边

   

3. 删除边

   

4. 添加顶点

   

5. 删除定点

   

6. 结束

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码：

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
type graphAdjMat struct {
    // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vertices []int
    // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
    adjMat [][]int
}

/* 构造函数 */
func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
    // 添加顶点
    n := len(vertices)
    adjMat := make([][]int, n)
    for i := range adjMat {
        adjMat[i] = make([]int, n)
    }
    // 初始化图
    g := &graphAdjMat{
        vertices: vertices,
        adjMat:   adjMat,
    }
    // 添加边
    // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
    for i := range edges {
        g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjMat) size() int {
    return len(g.vertices)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
    n := g.size()
    // 向顶点列表中添加新顶点的值
    g.vertices = append(g.vertices, val)
    // 在邻接矩阵中添加一行
    newRow := make([]int, n)
    g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
    // 在邻接矩阵中添加一列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
    }
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
    if index >= g.size() {
        return
    }
    // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
    g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
    g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
    }
}

/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    // 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
    g.adjMat[i][j] = 1
    g.adjMat[j][i] = 1
}

/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    g.adjMat[i][j] = 0
    g.adjMat[j][i] = 0
}

/* 打印邻接矩阵 */
func (g *graphAdjMat) print() {
    fmt.Printf("\t顶点列表 = %v\n", g.vertices)
    fmt.Printf("\t邻接矩阵 = \n")
    for i := range g.adjMat {
        fmt.Printf("\t\t\t%v\n", g.adjMat[i])
    }
}

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 $n$、边总数为 $m$ ，则可根据图中所示的方法实现各种操作。

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 $O(1)$ 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n+m)$ 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n+m)$ 时间。

1. 初始化邻接表

   

2. 添加边

   

3. 删除边

   

4. 添加顶点

   

5. 结束

以下是邻接表的代码实现。对比上图，实际代码有以下不同。

• 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。
• 使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 $i$ 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 $i$ 的索引全部减 $1$ ，效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
    // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    adjList map[Vertex][]Vertex
}

/* 构造函数 */
func newGraphAdjList(edges [][]Vertex) *graphAdjList {
    g := &graphAdjList{
        adjList: make(map[Vertex][]Vertex),
    }
    // 添加所有顶点和边
    for _, edge := range edges {
        g.addVertex(edge[0])
        g.addVertex(edge[1])
        g.addEdge(edge[0], edge[1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjList) size() int {
    return len(g.adjList)
}

/* 添加边 */
func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
    g.adjList[vet1] = append(g.adjList[vet1], vet2)
    g.adjList[vet2] = append(g.adjList[vet2], vet1)
}

/* 删除边 */
func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 删除边 vet1 - vet2
    g.adjList[vet1] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet1], vet2)
    g.adjList[vet2] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet2], vet1)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjList) addVertex(vet Vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if ok {
        return
    }
    // 在邻接表中添加一个新链表
    g.adjList[vet] = make([]Vertex, 0)
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjList) removeVertex(vet Vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if !ok {
        panic("error")
    }
    // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
    delete(g.adjList, vet)
    // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
    for v, list := range g.adjList {
        g.adjList[v] = DeleteSliceElms(list, vet)
    }
}

/* 打印邻接表 */
func (g *graphAdjList) print() {
    var builder strings.Builder
    fmt.Printf("邻接表 = \n")
    for k, v := range g.adjList {
        builder.WriteString("\t\t" + strconv.Itoa(k.Val) + ": ")
        for _, vet := range v {
            builder.WriteString(strconv.Itoa(vet.Val) + " ")
        }
        fmt.Println(builder.String())
        builder.Reset()
    }
}

效率对比

设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间效率和空间效率。请注意，邻接表（链表）对应本文实现，而邻接表（哈希表）专指将所有链表替换为哈希表后的实现。

观察表，似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。

广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。 如图所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

算法实现

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

1. 将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希集合 visited 来记录哪些节点已被访问。

提示

哈希集合可以看作一个只存储 key 而不存储 value 的哈希表，它可以在 $O(1)$ 时间复杂度下进行 key 的增删查改操作。根据 key 的唯一性，哈希集合通常用于数据去重等场景。

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    for len(queue) > 0 {
        // 队首顶点出队
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 记录访问顶点
        res = append(res, vet)
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入队未访问的顶点
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

代码相对抽象，建议对照图来加深理解。

1. 初始化res，que，visited

   

2. 顶点0出队

   

3. 顶点1出队

   

4. 顶点3出队

   

5. 顶点2出队

   

6. 顶点4出队

   

7. 顶点6出队

   

8. 顶点5出队

   

9. 顶点7出队

   

10. 顶点8出队

    

11. 队列que为空

    

12. end

提示

广度优先遍历的序列是否唯一？

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。以上图为例，顶点 1、3 的访问顺序可以交换，顶点 2、4、6 的访问顺序也可以任意交换。

复杂度分析

• 时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V|+|E|)$ 时间。

• 空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。

深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。 如图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希集合 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 递归访问邻接顶点
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

深度优先遍历的算法流程如下图所示。

• 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
• 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

为了加深理解，建议将图与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

1. 递推阶段：访问顶点0

   

2. 递推阶段：访问顶点0的邻接顶点，递归访问顶点1

   

3. 递推阶段：访问顶点1的邻接顶点，递归访问顶点2

   

4. 递推阶段：访问顶点2的邻接顶点，递归访问顶点5

   

5. 递推阶段：访问顶点5的邻接顶点，递归访问顶点4

   

6. 回溯阶段：顶点4的所有邻接顶点都已访问，回溯至顶点5

   

7. 递推阶段：遍历顶点5的邻接顶点，递归访问顶点6

   

8. 回溯阶段：顶点6的所有邻接顶点都已访问，回溯至顶点5

   

9. 回溯阶段：顶点6的所有邻接顶点都已访问，回溯至顶点5,以此类推，最终回溯至顶点0

   

10. 递推阶段：遍历顶点0的邻接顶点，递归访问顶点3

    

11. 回溯阶段：顶点3的所有邻接顶点都已访问，回溯至顶点0,完成遍历

    

12. end

提示

深度优先遍历的序列是否唯一？

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 -> 左 -> 右”“左 -> 根 -> 右”“左 -> 右 -> 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V|+|E|)$ 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $V$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。

小结

• 图由顶点和边组成，可以表示为一组顶点和一组边构成的集合。
• 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
• 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
• 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查改操作上效率很高，但空间占用较多。
• 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，因此时间效率较低。
• 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
• 从算法思想的角度分析，邻接矩阵体现了“以空间换时间”，邻接表体现了“以时间换空间”。
• 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
• 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
• 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
• 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走时再回溯的搜索方式，常基于递归来实现。

版权所有

版权归属：Mars Chin

许可证：署名-非商业性 4.0 国际 (CC-BY-NC-4.0)